Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB = 2 , AD = 8 và BC = x với 0 < x < 8 . Gọi V 1 , V 2 lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang SABCD (kể c

83/100

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ có $AB = 2$, $AD = 8$ và $BC = x$ với $0 < x < 8$. Gọi ${V_1},{V_2}$ lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang $ABCD 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD. Giá trị của x là __ thì $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{2}$.

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức thể tích hình nón $V = \frac{{\pi {r^2}h}}{3}$ và thể tích hình trụ $V = \pi {r^2}h$ từ đó tìm $x$.

Giải chi tiết:

Khi quay hình thang ABCD quanh đường thẳng BC, ta được khối tròn xoay có thể tích là:

\[{V_1} = {V_3} - {V_4} = 32\pi - \frac{1}{3}\pi \cdot {2^2} \cdot (8 - x) = \frac{4}{3}\pi (16 + x)\]

Trong đó, ${V_3}$ là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng $2$, chiều cao bằng $8$; ${V_4}$ là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng $2$, chiều cao bằng $8 - x$.

Khi quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AD, ta được khối tròn xoay có thể tích là:

\[{V_2} = {V_5} + {V_4} = 4\pi x + \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot (8 - x) = \frac{4}{3}\pi (8 + 2x)\]

Trong đó, ${V_5}$ là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng $2$, chiều cao bằng $x$.

Theo giả thiết ta có:

\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{16 + x}}{{8 + 2x}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 32 + 2x = 24 + 6x \Leftrightarrow x = 2.\]

Đáp án cần điền là: 2