Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Biết số đo góc A = góc B. Tia phân giác góc C và D cắt nhau tại I. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình thang có \(\widehat A = \widehat B\) nên nó là hình thang cân.

b) Sai. Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat C = \widehat D.\)

Vì DI là tia phân giác của góc D nên \(\widehat {ADI} = \widehat {IDC} = \frac{1}{2}\widehat D\)

Vì CI là tia phân giác của góc C nên \(\widehat {BCI} = \widehat {ICD} = \frac{1}{2}\widehat C\)

Mà \(\widehat C = \widehat D\) nên \(\widehat {ADI} = \widehat {IDC} = \widehat {BCI} = \widehat {ICD}.\)

c) Đúng. Vì \(\widehat {IDC} = \widehat {ICD}\) nên ∆CID cân tại I.

d) Đúng. Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với CD.

Vì d ⊥ CD và AB // CD nên d ⊥ AB.

Vì ∆CID cân tại I nên IC = ID.

Xét ∆ADI và ∆BCI có:

ID = IC, \(\widehat {ADI} = \widehat {BCI}\) và AD = BC (vì ABCD là hình thang cân).

Do đó ∆ADI = ∆BCI (c.g.c).

Suy ra AI = BI, nên I nằm trên đường trung trực của AB.

Như vậy đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB.