Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB và đáy lớn CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

16/50

Cho hình thang $ABCD$ có đáy nhỏ $AB$ và đáy lớn $CD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đoạn thẳng $MN$ song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa hiệu độ dài hai đáy.

Đoạn thẳng $MN$ song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.

Điểm $M$ và $N$ luôn chia đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên thành ba phần bằng nhau.

Đoạn thẳng $MN$ có độ dài bằng chính xác đáy nhỏ $AB$.

Giải thích

Chọn A

$Khi đó \(AB\,{\rm{//}}\,MN\,{\rm{// (ảnh 1)$

Gọi $P$ là trung điểm của $AD.$

Xét $\Delta ADC$ có $P,\,\,M$ lần lượt là trung điểm của $AD,\,\,AC$ nên $PM$ là đường trung bình của $\Delta ADC$, suy ra $PM\,{\rm{//}}\,CD$ và $PM = \frac{1}{2}CD$.

Tương tự, ta có $PN$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ nên $PN\,{\rm{//}}\,AB$ và $PN = \frac{1}{2}AB$.

Vì $ABCD$ là hình thang có đáy nhỏ $AB$ và đáy lớn $CD$ nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$.

Từ đó suy ra $PN\,{\rm{//}}\,CD.$

Qua điểm $P$ có $PM\,{\rm{//}}\,CD$ và $PN\,{\rm{//}}\,CD$ nên theo tiên đề Euclid thì $PM,\,\,PN$ trùng nhau hay ba điểm $P,\,\,M,\,\,N$ thẳng hàng.

Khi đó $AB\,{\rm{//}}\,MN\,{\rm{//}}\,CD$ và \[MN = PM - PN = \frac{1}{2}CD - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\left( {CD - AB} \right).\]