Cho hình thang ABCD (AD song song với BC, AD < BC). Các điểm E, F lần lượt

a) Ta có:

\[\widehat {EQF} = \widehat {{\rm{NEF}}} - \widehat {QF{\rm{E}}} = \left( {180^\circ  - \widehat {FCN}} \right) - \widehat {PA{\rm{D}}}\]

Vì AD // BC nên \[\widehat {FCN} = \widehat {PDA}\] (2 góc đồng vị)

Do đó: \[\widehat {EQF} = 180^\circ  - \widehat {P{\rm{D}}A} - \widehat {PA{\rm{D}}} = \widehat {EPF}\]

Suy ra tứ giác EFQP nội tiếp đường tròn.

b) Vì tứ giác EFQP nội tiếp nên \[\widehat {QPA} = 180^\circ  - \widehat {QF{\rm{E}}} = 180^\circ  - \widehat {PA{\rm{D}}}\]

\[ \Rightarrow \widehat {QPA} + \widehat {PA{\rm{D}}} = 180^\circ \].

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía \[ \Rightarrow \] PQ // AD

Gọi \[\left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right);\left( {{O_3}} \right)\] lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE; AM; CEN

Do \[\left( {{O_1}} \right)\] cắt \[\left( {{O_2}} \right)\] tại E và F nên \[{O_1}{O_2} \bot EF\,\,\,\,\,\,(1)\]

Do \[\left( {{O_2}} \right)\] cắt \[\left( {{O_3}} \right)\] tại E và F nên \[{O_2}{O_3} \bot EF\,\,\,\,\,\,(2)\]

Từ (1) và (2) suy ra \[{O_1};{O_2};{O_3}\] thẳng hàng   (đpcm)

c) Giả sử MN cắt EF tại K. Ta chứng minh B, D, K thẳng hàng.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác MNQ và cát tuyến KEF ta được:

\[\frac{{KM}}{{KN}}.\frac{{EN}}{{EQ}}.\frac{{FQ}}{{FM}} = 1\]

Suy ra \[\frac{{KM}}{{KN}} = \frac{{EQ}}{{EN}}.\frac{{FM}}{{FQ}} = \frac{{PQ}}{{NB}}.\frac{{DM}}{{PQ}} = \frac{{DM}}{{NB}}\].

Kết hợp với MD // NB, suy ra B, D, K thẳng hàng (đpcm).