Cho hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh ABCD là hình thang cân.

Qua điểm O vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại M và CD tại N.

Ta có OA = OB = OC = OD = R, suy ra đường thẳng d là đường trung trực của AB và CD.

Tam giác AOB cân tại O có OM là đường trung trực nên OM cũng là đường phân giác, suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}.\)

Tương tự, \(\widehat {DON} = \widehat {CON}.\)

Khi đó, ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {AOD} + \widehat {DON} = \widehat {BOM} + \widehat {BOC} + \widehat {CON} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}.\)

Xét ∆AOD và ∆BOC có:

OA = OB, \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC},\) OD = OC.

Do đó ∆AOD = ∆BOC (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ODA} = \widehat {OCB}\) (hai góc tương ứng).

Lại có \(\widehat {ODC} = \widehat {OCD}\) (vì ∆ODC cân tại O do OD = OC).

Khi đó, \(\widehat {ODA} + \widehat {ODC} = \widehat {OCB} + \widehat {OCD}\) hay \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Hình thang ABCD có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên ABCD là hình thang cân.