Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh bên AD tại M và cắt cạnh bên BC tại N.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ODC có AB // DC có \(\frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}\).

b) Đúng. Theo hệ quả định lí Thalès trong ∆ADC có OM // CD, ta có \(\frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{OA}}{{AC}}\).

c) Đúng. Theo hệ quả định lí Thalès trong ∆BDC có ON // CD, ta có \(\frac{{ON}}{{CD}} = \frac{{OB}}{{BD}}\).

Kết hợp với ý a), b) ta suy ra \(\frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{ON}}{{CD}}\,\,\left( { = \frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}} \right)\), tức là OM = ON.

d) Sai. Xét ∆ABD có OM // AB, ta có \(\frac{{OM}}{{AB}} = \frac{{OD}}{{BD}}\).

Khi đó \(\frac{{OM}}{{AB}} + \frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{OD}}{{BD}} + \frac{{OB}}{{BD}} = \frac{{OD + OB}}{{BD}} = 1\).

Suy ra \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}} = \frac{1}{{OM}}\).

Vì MN = OM + ON và \(OM = ON\) nên MN = 2OM, tức là \(OM = \frac{{MN}}{2}\) suy ra \(\frac{1}{{OM}} = \frac{2}{{MN}}.\)

Do đó, hệ thức chính xác phải là \(\frac{2}{{MN}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}}\).