Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. a) Chứng minh: OA . OD = OB . OC.
Giải thích
a) Ta có AB // CD, áp dụng định lý Ta-let: OAOC=OBOD.
Do đó: OA . OD = OB . OC (đpcm).
b) Từ câu a suy ra: OAOC=OBOD=ABCD
⇔OA6=510=12
⇔OA=62=3 (cm).
Do OE // DC nên theo hệ quả định lí Ta-let:
AEAC=AOAC=EODC
⇔33+6=EO10
⇔EO=3 . 109=103 (cm).
Vậy OA = 3 cm, EO=103 cm.
c) Do OE // AB, theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: OEAB=DEDA (1)
Do OE // CD, theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: OEDC=AEDA (2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được: OEAB+OEDC=DEDA+AEDA=1.
Suy ra OE (1AB+1CD)=1 hay 1OE=1AB+1CD (*)
Chứng minh tương tự, ta có: 1OG=1AB+1DC (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 1OE=1OG=1AB+1CD (đpcm).