Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4 cm, CD = 10 cm, AD = 8 cm, BC = 9 cm. Tia phân giác của góc D cắt đường thẳng chứa cạnh AB tại điểm E.

a) Đúng. Do \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat E = \widehat {{D_2}}\) (hai góc so le trong).

Lại có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (do \(AD\) là tia phân giác góc \(D).\)

Suy ra \(\widehat E = \widehat {{D_1}}\) nên \(\Delta ADE\) cân tại \(A\).

b) Đúng. Vì \(\Delta ADE\) cân tại \(A\) nên \(AE = AD = 8\) cm.

c) Sai. Lấy \(B',\,\,E'\) lần lượt trên cạnh \(FC,\,\,FD\) sao cho \(F\) là trung điểm của \(BB',\,\,EF'.\)

Khi đó tứ giác \(BEB'E'\) là hình bình hành.

Suy ra \(B'E' = BE\) và \(B'E'\,{\rm{//}}\,BE.\)

Lại có \(AE\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(B'E'\,{\rm{//}}\,CD.\)

Xét \(\Delta FCD\) có \(B'E'\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\frac{{FE'}}{{FD}} = \frac{{B'E'}}{{CD}}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Mà \(B'E' = BE\) và \(FE' = FE\) nên \[\frac{{FE}}{{FD}} = \frac{{BE}}{{CD}} = \frac{{AE - AB}}{{CD}} = \frac{{8 - 4}}{{10}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\].

d) Sai. Từ \(\frac{{FE}}{{FD}} = \frac{2}{5}\) ta có \(\frac{{FD}}{{FE}} = \frac{5}{2}\) suy ra \(\frac{{FD}}{{FE + FD}} = \frac{5}{{2 + 5}}\) hay \(\frac{{DF}}{{DE}} = \frac{5}{7}.\)

Xét \(\Delta ADE\) có \(IF\,{\rm{//}}\,AE\) nên \(\frac{{IF}}{{AE}} = \frac{{DF}}{{DE}} = \frac{5}{7}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Suy ra \(\frac{{IF}}{8} = \frac{5}{7}\) nên \(IF = \frac{{40}}{7}\) cm.