Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm M, N lần lượt thuộc AD, BC sao cho MN // AB. Nếu MA = 2MD, AB = 6 cm và CD = 12 cm thì độ dài MN là:

Đáp án đúng là: B

Nối AC cắt MN tại I. Kẻ IK // AD (K thuộc DC).

Vì AB // CD và MN // AB nên MN // CD.

Tứ giác MIKD có MI // DK và MD // IK nên nó là hình bình hành.

Suy ra MI = DK.

Từ MA = 2MD suy ra \(MD = \frac{1}{2}MA\) nên \(AD = AM + MD = AM + \frac{1}{2}AM = \frac{3}{2}AM.\)

Suy ra \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{2}{3}.\)

Áp dụng định lí Thalès trong ∆ADC có MI // DC, ta có \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{2}{3}.\)

Áp dụng định lí Thalès trong ∆ADC có IK // AD, ta có \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{2}{3}.\)

Mà MI = DK nên \(\frac{{MI}}{{DC}} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{2}{3},\) suy ra \(MI = \frac{2}{3}DC = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\) (cm).

Tương tự trong ∆ABC có IN // AB, ta có \(\frac{{IN}}{{AB}} = \frac{{CI}}{{AC}} = \frac{1}{3},\) suy ra \(IN = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2\) cm.

Vậy MN = MI + IN = 8 + 2 = 10 cm.