Cho hình tam giác ABC. Lấy M trên AB và N trên AC sao cho AM = BM và 2 × NC = NA. a) Tính tỉ số diện tích ANM và BMNC. b) Cho MN cắt BC ở D. So sánh BC với CD.

Cho hình tam giác ABC. Lấy M trên AB và N trên AC sao cho AM = BM và 2 × NC = NA.

a) Tính tỉ số diện tích ANM và BMNC.

b) Cho MN cắt BC ở D. So sánh BC với CD.

a)   Nối N với B, ta có:

S_AMN = 12 S_ANB (chung chiều cao từ N xuống AB, đáy AM = 12 AB)

S_ANB = 23 S_ABC (chung chiều cao từ B xuống AC, đáy AN = 23 AC)

Suy ra S_AMN = 12×23 × S_ABC = 13 × S_ABC 

Vậy S_AMN = 12 S_BMNC

b)  Nối A với D. Ta có:

S_AMD = S_BMD (chung chiều cao từ D xuống AB, đáy AM = NM).

Mà 2 tam giác này chung đáy MD nên chiều cao hạ từ A xuống MD bằng chiều cao hạ từ B xuống MD.

Từ 2 chiều cao này, kết hợp với việc chung đáy ND nên ta có SAND = SBND

Lại có S_CND = 12 S_AND (chung chiều cao từ D xuống AC, đáy CN = 1/2 AN)

Suy ra S_CND = 12 S_BND, mà 2 tam giác này chung chiều cao từ N xuống DB

Suy ra đáy CD = 12 DB hay CD = BC.