Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số
16/22
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành \(Ox\)và hai đường thẳng \(x = 0,\,x = 4\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \(MOH\)quanh trục \(Ox\). Biết rằng \(V = 2{V_1}\). Khi đó \(a = 3\).
Công thức tính diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(\int_0^4 {\sqrt x dx} \).
Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(\frac{{19}}{6}\).
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), \(x = 0,\,x = 4\) và trục hoành \(Ox\) là \(8\pi \).
Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \), \(x = 0,\,x = 4\) và trục \(Ox\). Đường thẳng \(x = a\left( {0 < a < 4} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \)tại \(M\).
a) Đ |
b) S |
c) Đ |
d) Đ |
a) Ta có \(S = \int_0^4 {\sqrt x dx} \). Vậy a) Đúng.
b) \[S = \int_0^4 {\sqrt x dx} = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\left. {} \right|_0^4 = \frac{{16}}{3}\]. Vậy b) Sai
c) Ta có \(V = \pi \int_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx = } \pi \int_0^4 {xdx = } 8\pi \). Vậy c) Đúng
d) \(V = \pi \int_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx = } \pi \int_0^4 {xdx = } 8\pi \)\( \Rightarrow {V_1} = \frac{V}{2} = 4\pi \)
Tam giác \(MOH\)quanh trục \(Ox\) tạo nên hai khối nón chung đáy. Gọi \(N\)là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\). Suy ra \(r = MN = {y_M} = y\left( a \right) = \sqrt a \).
\( \Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}.OH.\pi .{r^2} = \frac{1}{3}.4.\pi .{\left( {\sqrt a } \right)^2} = \frac{{4\pi a}}{3}\). Suy ra \(4\pi = \frac{{4\pi a}}{3} \Rightarrow a = 3\)
Vậy d) Đúng.