Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = căn bậc hai của (4x - x^2) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox.

12/22

Cho hình phẳng \((H)\) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4x - {x^2}} \) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \((H)\) xung quanh trục \(Ox\).

\(\frac{{32}}{3}\).

\(\frac{{32\pi }}{3}\).

\(\frac{{32{\pi ^2}}}{3}\).

\(\frac{{31\pi }}{3}\).

Giải thích

Chọn B

Điều kiện xác định: \(\sqrt {4x - {x^2}} \ge 0 \Rightarrow 4x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x\left( {4 - x} \right) \ge 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \le 4}\end{array}} \right. \Rightarrow 0 \le x \le 4\)

Trục hoành có phương trình là: \(y = 0\).

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là: \[\sqrt {4x - {x^2}} = 0 \Leftrightarrow 4x - {x^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {4 - x} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\] (TM)

Thể tích khối xoay khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \[Ox\] là:

\[V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt {4x - {x^2}} } \right)}^2}\,} dx = \pi \int\limits_0^4 {\left( {4x - {x^2}} \right)} \,dx = \frac{{32\pi }}{3}\]

Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \((H)\) xung quanh trục \(Ox\) là \[\frac{{32\pi }}{3}\].