Cho hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Bán kính đáy của hình nón bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) .	¡	¤
Diện tích xung quanh hình nón đã cho bằng \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\).	¤	¡
Thể tích của khối nón đã cho bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\).	¡	¤

Giải thích

Giả sử hình nón ngợi tiếp tứ diện đều ABCD cạnh \(a\) như hình vẽ trên. Ta có:

+) Bán kính đáy \(R = OC = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

+) Độ dài đường sinh \(l = AC = a\).

+) Chiều cao của khối chóp là \(h = AO = \sqrt {{{\left. {A{B^2} - \frac{{BC\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy:

+) Diện tích xung quanh hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\).

+) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\)