Cho hình nón ( N ) có bán kính đáy bằng 3 , chiều cao bằng 3 √ 3 . Cho mặt cầu ( S ) tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Thể tíc

72/100

Cho hình nón $\left( N \right)$ có bán kính đáy bằng 3 , chiều cao bằng $3\sqrt 3 $. Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Thể tích của khối cầu $\left( S \right)$ là

$\frac{{2\pi }}{{\sqrt 3 }}$.

$2\sqrt 3 \pi $.

$\frac{{4\pi }}{{\sqrt 3 }}$.

$4\sqrt 3 \pi $.

Giải thích

$Cho hình nón $\left( N \right)$ có bán kính đáy bằng 3 , chiều cao bằng $3\sqrt 3 $. Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Thể tích của khối cầu $\left( S \right)$ là A. $\frac{{2\pi }}{{\sqrt 3 }}$. B. $2\sqrt 3 \pi $. C. $\frac{{4\pi }}{{\sqrt 3 }}$. D. $4\sqrt 3 \pi $. (ảnh 1)$

Giả sử hình nón $\left( N \right)$ có đỉnh là $S$, tâm đáy là $I$ và $AB$ là đường kính của đường tròn đáy.

Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O$.

Vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với tất cả các đường sinh và mặt đáy của $\left( N \right)$ nên bán kính của $\left( S \right)$ là $r = d\left( {O;SA} \right) = d\left( {O;AB} \right) = OI$ với $S,O,I$ thẳng hàng và $AO$ là tia phân giác của $\widehat {SAI}$.

Xét vuông tại $I:SA = \sqrt {S{I^2} + A{I^2}} = \sqrt {{{(3\sqrt 3 )}^2} + {3^2}} = 6$.

${\rm{tan}}SAI = \frac{{SI}}{{AI}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SAI} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {OAI} = {30^ \circ }$.

Xét vuông tại $I:OI = AI.{\rm{tan}}\widehat {OAI} = 3.{\rm{tan}}{30^ \circ } = \sqrt 3 $.

Thể tích của khối cầu $\left( S \right)$ là $V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi .{(\sqrt 3 )^3} = 4\sqrt 3 \pi $.

Chọn D