Cho hình nón có bán kính đáy OA=6cm và chiều cao SO=8cm. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục SO và cách trục SO một khoảng bằng 3cm ta được hai phần.

Đáp án: \(33,2\).

Dựng trục \(Ox\) như hình vẽ

Xét mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(K\) có hoành độ bằng \(x\left( {0 \le x \le 4} \right)\), thiết diện thu được là hình viên phân \(IMN\) có bán kính \(r = KI = KM = KN\).

Ta có \(\frac{{IK}}{{OA}} = \frac{{SK}}{{SO}} \Rightarrow IK = \frac{{OA.SK}}{{SO}} = \frac{{6.\left( {8 - x} \right)}}{8} = \frac{{3\left( {8 - x} \right)}}{4} = 6 - 0,75x \Rightarrow r = 6 - 0,75x\).

\({S_{\Delta KMN}} = \frac{1}{2}KH.MN = \frac{1}{2}.3.2\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Đặt \(\widehat {MKN} = \alpha \left( {rad} \right) \Rightarrow \widehat {IKM} = \frac{\alpha }{2}\).

Ta có \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{r} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} = shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) \Rightarrow \alpha  = 2shiftcos\left( {\frac{3}{r}} \right)\)

\({S_{quat}} = \frac{\alpha }{{2\pi }}.\pi {r^2} = \frac{{\alpha .{r^2}}}{2} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right)\)

Diện tích thiết diện là

\(S\left( x \right) = {S_{quat}} - {S_{\Delta KMN}} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) - 3\sqrt {{r^2} - 9} \)

\( = {\left( {6 - 0,75x} \right)^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{{6 - 0,75x}}} \right) - 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Thể tích cần tính là: \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx}  \approx 33,2\) (Sử dụng máy tính).