Cho hình lập phươngABCD.A'B'C'D', Gọi M,N lần lượt là trung điểm của

Cách 1: Tọa độ hóa

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, với \(O \equiv B'\).

Coi độ dài các cạnh của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) là 1 .

Khi đó \(B'\left( {0;0;0} \right),D\left( {1;1;1} \right),N\left( {0;0;\frac{1}{2}} \right),M\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {B'D}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {MN}  = \left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

\(\cos \left( {B'D;MN} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'D} ;\overrightarrow {MN} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 1.\frac{1}{2} + 1.\frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

Cách 2: Sử dụng tích vô hướng

Coi độ dài các cạnh của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) là 1 .

Đặt \(\vec a = \overrightarrow {AB} ,\vec b = \overrightarrow {AD} ,\vec c = \overrightarrow {AA'} \) suy ra \(\left| {\vec a\left|  =  \right|\vec b\left|  =  \right|\vec c} \right| = 1,\vec a.\vec b = \vec b.\vec c = \vec c.\vec a = 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {AM}  = \vec a - \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

\(\overrightarrow {B'D}  = \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  =  - \vec a + \vec b - \vec c\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {B'D} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}}  = \sqrt 3 \).

\(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {B'D}  = \left( {\vec a - \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c} \right)\left( { - \vec a + \vec b - \vec c} \right) =  - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} =  - 2\).

\({\rm{cos}}\left( {MN;B'D} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {B'D} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {B'D} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {B'D} } \right|}} = \frac{2}{{\frac{{\sqrt 6 }}{2}.\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).