Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Chọn  hệ trục toạ độ Đề các vuông góc \(Oxyz\)như sau :  \(O \equiv A(0;0;0)\); \[A'(0;0;a)\]

\(B(a;0;0)\); \[B'(a;0;a)\]; \(C(a;a;0)\); \[C'(a;a;a)\]; \(D(0;a;0)\); \[D'(0;a;a)\].

Ta có \[\left( {AB'D'} \right)//\left( {C'BD} \right)\]

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[(C'BD)\]là \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = ( - {a^2}; - {a^2};{a^2})\] hay \[\overrightarrow {{n_2}}  = (1;1; - 1)\].

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \[(C'BD)\]là   \[x + y - z - a = 0\].

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \[(AB'D')\] là \[x + y - z = 0\].

 \[ \Rightarrow d\left( {(AB'D'),(C'BD)} \right) = d\left( {B,(AB'D')} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].