Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BDD'B)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) khi đó ta có \(AO \bot BD\) (1).

Mặt khác ta lại có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(BB' \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow BB' \bot AO\) (2).

Từ (1) và (2) ta có \(AO \bot \left( {BDD'B'} \right)\)\( \Rightarrow \left( {AB',\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AB',B'O} \right) = \widehat {AB'O}\).

Do \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình lập phương nên \(AC = AB' \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}AB'\)

Xét tam giác vuông \(AB'O\) có \(\sin \widehat {AB'O} = \frac{{AO}}{{AB'}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {AB'O} = 30^\circ \).

Vậy \(\left( {AB',\left( {ABCD} \right)} \right) = 30^\circ \).