a) Đúng. Ta có \(A\left( {0;0;0,1} \right)\) và \({R_1} = 6\); \(B\left( {10;0;0,1} \right)\) và \({R_2} = 8\).

Gọi \(O,\,B'\) lần lượt là chân của trạm phát sóng A và B.

Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 0,1} \right)^2} = 36\).

b) Sai. Gọi \(H;\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành và trục tung

Điểm C (nút giao đường) nằm trên mặt đất \((Oxy)\), có tung độ dương nên tọa độ \(C(x;y;0)\).

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {6^2}\\{\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} = {8^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3,6\\y = 4,8\end{array} \right.\). Vậy \(C(3,6;4,8;0)\).

Một vecto chỉ phương của đường thẳng AC là \(\overrightarrow n = \left( {36;48; - 1} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng AC là \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{{ - 1}}\).

c) Đúng. Ta có \(OC = 6\;{\rm{km}};\,CD = 60\;{\rm{m}} = 0,06\;{\rm{km}}\)\( \Rightarrow OD = OC - CD = 6 - 0,06 = 5,94\)

Có \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OE = \frac{{OH \cdot OD}}{{OC}} = 3,564\)

Có \(\frac{{OF}}{{OK}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OF = \frac{{OK \cdot OD}}{{OC}} = 4,752\), vậy \(D\left( {3,564;\,4752;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow BD = \sqrt {{{\left( {10 - 3,564} \right)}^2} + {{\left( {4,752} \right)}^2} + {{0,1}^2}} = 8,00085 > 8\).

d) Đúng.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số ngh (ảnh 2)

Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên \(BB'\)

\( \Rightarrow {F_2}B = 3;\,\,BJ = 0,05;\,\,{F_2}J = \sqrt {{3^2} - {{0,05}^2}} = 2,999583304\)

Gọi G là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên mặt phẳng \(Oxy\)

\({F_2}D = \sqrt {{F_2}{G^2} + D{G^2}} \), nên \({F_2}D\) đạt lớn nhất khi \(DG\) lớn nhất, khi đó \(D,\,\,B',\,\,G\)thẳng hàng

\( \Rightarrow DG = DB' + B'G\) \( = \sqrt {{{\left( {10 - 3,564} \right)}^2} + {{4,752}^2}} + 2,999583304 \approx 10,9998083\).

\( \Rightarrow D{F_2} = \sqrt {{{0,05}^2} + D{G^2}} = 10,99992194\)

Lại có \(D{F_1}\) lớn nhất khi \(D,\,\,A,\,\,{F_1}\) thẳng hàng\( \Rightarrow D{F_1} = {R_1} + AD = 4 + 5,94 = 9,94\)

Tổng khoảng cách lớn nhất \(D{F_1} + D{F_2} = 20,93992194 \approx 21\) km.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình bên). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) bằng