Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. M, N lần lượt thuộc các đoạn AD, A'C sao cho

a) Chứng minh AB'D'//BC'D.

Từ giả thiết ta có BD//B'D'AB'//DC'⇒AB'D'//BC'D

b) Chứng minh AC'⊥A'B

Ta có: AC'→.A'B→=AB→+AD→+AA'→.AB→−AA'→

=AB→2+AD→.AB→+AA'→.AB→−AB→.AA'→−AD→.AA'→−AA'→2⇒AC'→⊥A'B→⇒AC'⊥A'B.

c) Chứng minh MN//AB'D'

Dễ thấy M, N không thuộc (AB'D').

MN//AB'D'⇔MN→, AB'→, AD'→ đồng phẳng ⇔∃ m, n: MN→=mAB'→+nAD'→

Đặt AB→=a→, AD→=b→, AA'→=c→

 MN→=AN→−AM→=AA'→+A'N→−15AD→=c→+25A'C→−15b→=c→+25a→+b→−c→−15b→=25a→+15b→+35c→

AB'→=a→+c→, AD'→=b→+c→

MN→=mAB'→+nAD'→⇔25a→+15b→+35c→=ma→+nb→+m+nc→⇔m=25n=15⇒MN→=25AB'→+15AD'→

Vậy MN // (AB'D').