Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Gọi α là góc giữa AC ′ và mặt phẳng ( A ′BCD ′ ) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

34/38

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \[\alpha \] là góc giữa \[AC'\] và mặt phẳng \[\left( {A'BCD'} \right)\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

\[\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}30^\circ .\]

\(\tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\)

\[\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}45^\circ .\]

\(\tan \alpha = \sqrt 2 .\)

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Gọi \[\left\{ \begin{array}{l}A'C \cap AC' = I\\C'D \cap CD' = H\end{array} \right.\] .

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta chứng minh được \(\left\{ \begin{array}{l}C'D \bot CD'\\C'D \bot A'D'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C'D \bot \left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow IH\) là hình chiếu vuông góc của \(AC'\) lên \(\left( {A'BCD'} \right)\).

\( \Rightarrow \widehat {C'IH}\)là góc giữa \(AC'\) và \(\left( {A'BCD'} \right).\)

Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).

Khi đó ta có \[C'H = \frac{{C'D}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\], \(IH = \frac{{A'D'}}{2} = \frac{a}{2}\).

Tam giác \(C'IH\) vuông tại \[H\] có \(\tan \widehat {C'IH} = \frac{{C'H}}{{IH}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{a}{2} = \sqrt 2 .\)

Vậy \(\tan \alpha = \sqrt 2 .\)