Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi (N) là một hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm của hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A', B', C', D'

25/56

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi (N) là một hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm của hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A', B', C', D' nằm trên các đường sinh của hình nón như hình vẽ. Thể tích khối nón (N) có giá trị nhỏ nhất bằng

2π3

3π4

9π8

9π16

Giải thích

Chọn C

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi (N) là một hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm của hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A', B', C', D' (ảnh 1)

Xét phần mặt cắt qua trục hình nón và đi qua mặt phẳng (AA'C'C), kí hiệu như hình vẽ. Với I, H lần lượt là tâm của hình vuông ABCD, A'B'C'D' và đỉnh A'nằm trên đường sinh EF của hình nón.

Hình lập phương có thể tích bằng 1 nên AA'=HI=1,A'H=22

Đặt EH = x (x > 0). Khi đó, ta có

EHEI=A'HFI⇔xx+1=22FI→FI=22x+1x=r

Thể tích khối nón (N) là

VN=13πr2EI=16πx+1x2x+1=π6x+13x2

Xét hàm số fx=x+13x2 trên 0;+∞. Ta có f'x=x−2x+12x3

Lập bảng biến thiên

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi (N) là một hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm của hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A', B', C', D' (ảnh 2)

Ta được min0;+∞fx=274 tại x = 2. Suy ra minVN=9π8