Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a > 0. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' là

Cách 1:

Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ.

\(B\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B'\left( {0;0;a} \right)\), \(C'\left( {0;a;a} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - a;0;0} \right)\)

\(\overrightarrow {AB'}  = \left( { - a;0;a} \right)\)\( \Rightarrow \)\(AB'\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;0;1} \right)\).

\(\overrightarrow {BC'}  = \left( {0;a;a} \right)\)\( \Rightarrow BC'\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;1;1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1;1; - 1} \right)\).

Suy ra: \(d\left( {AB',BC'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Cách 2:

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\). Trong mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\), kẻ \(CH \bot C'O\) tại \(H\),

mà \(CH \bot BD\) (do \(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\)) nên \(CH \bot \left( {C'BD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {C;C'BD} \right) = CH\)

Ta có: \(AB'\;{\rm{//}}\;\left( {C'BD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {AB',BC'} \right) = d\left( {AB',\left( {C'BD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {C'BD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {C'BD} \right)} \right) = CH\)

Xét \(\Delta \)\(C'CO\) vuông tại \(C\), đường cao \(CH\):

\(\frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{C{O^2}}} + \frac{1}{{C{{C'}^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \Rightarrow CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).