Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính vectơ A'B. vectơ D'C', .

Ta có: A'B→=D'C→. Do đó, A'B→,  D'C'→=D'C→, D'C'→=CD'C'^ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra CD'C'^=45°. Vậy A'B→,  D'C'→=45°.

Ta có A'B→=A'B=AA'2+AB2=a2+a2=a2 , D'C'→=D'C'=a.

Do đó, A'B→⋅D'C'→=A'B→⋅D'C'→⋅cosA'B→,D'C'→=a2⋅a⋅cos45°=a2 .

Ta có: D'A→=C'B→. Do đó, D'A→,  BC→=C'B→, BC→=CBC'^  .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra CBC'^=45° . VậyD'A→,  BC→=45° .

Ta có D'A→=D'A=DD'2+DA2=a2+a2=a2, BC→=BC=a .

Do đó, D'A→⋅BC→=D'A→⋅BC→⋅cosD'A→,BC→=a2⋅a⋅cos45°=a2.