Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tìm cosin của góc tạo bởi hai

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, ta có mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên có phương trình \(z = 0\), suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).

Ta có \(A\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\), \(C\left( {a\,;\,a\,;\,a} \right)\),\(D'\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\),\(\overrightarrow {AC}  = \left( {a\,;\,a\,;\,0} \right)\),\(\overrightarrow {AD'}  = \left( {a\,;\,0\,;\, - a} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;0} \right)\),\(\overrightarrow v  = \left( {1;0; - 1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;1} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa  mặt phẳng  \(\left( {ACD'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).     

Ta có \[\cos \varphi  =  = \left| {\frac{{1.0 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }}} \right| = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] .