Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a

Ta có \[\left. \begin{array}{l}\left( {ADC'B'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\AD \bot C'D\\AD \bot DC\end{array} \right\} \Rightarrow \]góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ADC'B'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {C'DC} = 45^\circ \).

Suy ra sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ADC'B'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\sin 45^\circ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Gọi \(O = A'C' \cap B'D'\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}B'D' \bot A'O\\B'D' \bot AO\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {AOA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',A'} \right]\).

Ta có \[A'C' = a\sqrt 2 \Rightarrow OA' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]. Khi đó \(\tan \widehat {AOA'} = \frac{{AA'}}{{A'O}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \).

Vậy tang của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',A'} \right]\) bằng \(\sqrt 2 \).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}B'D' \bot AO\\B'D' \bot C'O\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {AOC'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',C'} \right]\).

Vì \(\widehat {AOC'} + \widehat {AOA'} = 180^\circ \) nên \(\tan \widehat {AOC'} = - \tan \widehat {AOA'} = - \sqrt 2 \).

Vậy tang của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',C'} \right]\) bằng \( - \sqrt 2 \).

Vì \[B'D' \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \left. \begin{array}{l}B'D' \bot AO\\B'D' \bot CO\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {AOC}\] là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',C} \right]\).

Ta có \(AO = CO = \sqrt {A'{A^2} + A'{O^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\); \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác \(OAC\) có \(\cos \widehat {AOC} = \frac{{O{A^2} + O{C^2} - A{C^2}}}{{2 \cdot OA \cdot OC}} = \frac{{\frac{{6{a^2}}}{4} + \frac{{6{a^2}}}{4} - 2{a^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{1}{3}\).

Vậy côsin của góc nhị diện \(\left[ {A,B'D',C} \right]\) bằng \(\frac{1}{3}\).

Đáp án: 1 – E; 2 – A; 3 – B; 4 – C.