Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a

43/235

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S\) là tâm các mặt của hình lập phương. Thể tích của hình khối tạo bởi sáu đỉnh \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S\) bằng:

\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}.\)

\(\frac{{{a^3}}}{6}.\)

\(\frac{{{a^3}}}{{12}}.\)

\(\frac{{{a^3}}}{4}.\)

Giải thích

Gọi \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(BB',\,{\rm{AA'}},\,\,DD',\,\,CC'\).

Khi đó ta có \(\left( {EFGH} \right) \equiv \left( {MNPQ} \right).\)

Gọi \(O\) là tâm hình lập phương, khi đó \(O\) là trung điểm của \(RS\) và \(RS \bot \left( {MNPQ} \right)\) tại \(O.\)

Ta có: \[{V_{RSMNPQ}} = {V_{R.MNPQ}} + {V_{S.MNPQ}} = \frac{1}{3} \cdot RO \cdot {S_{MNPQ}} + \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{MNPQ}} = \frac{1}{3} \cdot RS \cdot {S_{MNPQ}}.\]

Do \(EFGH\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(MN = NP = \frac{1}{2}EG = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

\[ \Rightarrow {S_{MNPQ}} = MN \cdot NP = \frac{{{a^2}}}{2},\,\,RS = a.\] Vậy \[{V_{RSMNPQ}} = \frac{1}{3}a \cdot \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}.\] Chọn B.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a (ảnh 1)