Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Đặt \(\overrightarrow {AB}
8/45
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow x ;\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow y ;\,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow z \).
a) \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \).
b) \(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow x + \overrightarrow z \).
c) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow {BA'} \) và vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) bằng \(60^\circ \).
d) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó, độ dài vectơ \(\overrightarrow {A'M} \) bằng \(\frac{{3a}}{2}\).
Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \).
Theo quy tắc 3 điểm ta có \(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x - \overrightarrow z \).
Vì hình lập phương có cạnh bằng \(a\) nên \(A'B = A'C' = C'B = a\sqrt 2 \), do đó tam giác \(A'BC'\) đều, nên \[\widehat {BA'C'} = 60^\circ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \].
Dễ thấy \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AM \Rightarrow \)tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A\).
Có \(\left| {\overrightarrow {A'M} } \right| = A'M = \sqrt {A{{A'}^2} + A{M^2}} = \sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2} + B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.