Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

18/22

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Gọi \(I\) là tâm của mặt bên \(ADD'A'\) và \(K\) là trung điểm của cạnh \(CC'.\) Cho biết \(\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = n{a^2}{\rm{ }}(n\) là số thập phân). Giá trị của \(n\) bằng bao nhiêu?

Giải thích

Đáp án: 0,75.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. (ảnh 1)

Cách 1:

Ta có \(\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BK} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {BK} + {\overrightarrow {AB} ^2} = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {BK} + {a^2}.\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(DD'.\) Khi đó

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {BK} & = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {AH} = - \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AH} = - AI.AH.\cos \widehat {IAH} = - AI.AH.\frac{{A{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{{2AH.AD'}}\\ & = - AI.AH.\frac{{A{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{{2AH.2AI}} = - \frac{{A{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{4}\\ & = - \frac{{A{D^2} + D{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{4} = - \frac{{A{D^2} + A{{D'}^2}}}{4} = - \frac{{{a^2} + 2{a^2}}}{4} = - \frac{{3{a^2}}}{4}\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = - \frac{{3{a^2}}}{4} + {a^2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow n = \frac{1}{4} = 0,75.\)

Cách 2:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (đơn vị trên trục là \(a)\) thỏa \(A(0;0;0),D(1;0;0),B(0;1;0),A'(0;0;1).\) Khi đó

\(\left. \begin{array}{l}K\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\\I\left( {\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IB} = \left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IK} = - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = n = 0,75.\)

Cách 3:

Trên \(B'C'\) lấy điểm \(K'\) sao cho \(\overrightarrow {B'K'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {B'C'} .\) Khi đó: \(\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IK'} \)

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác \(CAK,AIB,B'BK',\) ta được:

\(I{K'^2} = A{K^2} = \frac{9}{4}{a^2};I{B^2} = \frac{3}{2}{a^2};BK' = \frac{{13}}{4}{a^2}.\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IK'} = IB.IK'.\cos \widehat {BIK'} = IB.IK'.\frac{{I{B^2} + I{{K'}^2} - BK'}}{{2IB.IK'}}\\ & = \frac{{I{B^2} + I{{K'}^2} - B{{K'}^2}}}{2} = \frac{{\frac{3}{2}{a^2} + \frac{9}{4}{a^2} - \frac{{13}}{4}{a^2}}}{2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow n = \frac{1}{4} = 0,75.\end{array}\)