Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 30 cm. Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí A và D, kiến vàng đi thẳng từ A đến D' với vận tốc 1 cm/s và kiến đ

Đáp án: \(9\)

Xác định tọa độ vị trí hai con kiến tại thời điểm \(t{\rm{ }}(t \ge 0)\).

·            Kiến vàng (đi từ \(A\) đến \(D'\)):

o     Vectơ\(\overrightarrow {AD'}  = (0;30;30)\), độ dài\(AD' = 30\sqrt 2 \).

o     Vận tốc\({v_1} = 1{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến vàng ở vị trí \(M\).

o     Tọa độ \(M\): 

\(\overrightarrow {AM}  = \frac{{{v_1} \cdot t}}{{AD'}} \cdot \overrightarrow {AD'}  = \frac{t}{{30\sqrt 2 }}(0;30;30) = \left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow M\left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

·            Kiến đen (đi từ \(D\) đến \(B\)):

o     Vectơ \(\overrightarrow {DB}  = (30; - 30;0)\), độ dài \(DB = 30\sqrt 2 \).

o     Vận tốc \({v_2} = 2{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến đen ở vị trí \(N\).

o     Tọa độ \(N\):

\(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = (0;30;0) + \frac{{{v_2} \cdot t}}{{DB}} \cdot \overrightarrow {DB} \)

\(\overrightarrow {AN}  = (0;30;0) + \frac{{2t}}{{30\sqrt 2 }}(30; - 30;0) = (0;30;0) + \left( {\sqrt 2 t; - \sqrt 2 t;0} \right) \Rightarrow N\left( {\sqrt 2 t;30 - \sqrt 2 t;0} \right)\)

Khoảng cách giữa hai con kiến là \(d = MN\). Ta có:

\(M{N^2} = {(\sqrt 2 t - 0)^2} + {\left( {30 - \sqrt 2 t - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {0 - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 2{t^2} + {\left( {30 - \frac{{3t}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{{t^2}}}{2} = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\)

Hàm số \(f(t) = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\) là một parabol có bề lõm quay lên trên, đạt giá trị nhỏ nhất tại:

\(t =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{90\sqrt 2 }}{{2 \cdot 7}} = \frac{{45\sqrt 2 }}{7} \approx 9,0913\).