Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \).

Do đó AB→,A'C'→=A'B'→,A'C'→=B'A'C'=45° (do \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình vuông nên \({A^\prime }{C^\prime }\) là̀ phân giác của góc \(\left. {{D^\prime }{A^\prime }{B^{\prime \prime }}} \right)\).

Ví \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình vuông cạnh bẳng 1 nên \({A^\prime }{C^\prime } = \sqrt 2 \).

Ta có AB→⋅A'C'→=|AB→|⋅A'C'→⋅cosAB→,A'C'→=1⋅2⋅cos45°=1

Vì \({\rm{AC}}{{\rm{C}}^\prime }{A^\prime }\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {C{C^\prime }}  = \overrightarrow {A{A^\prime }} \).

Do đó AB→,CC'→=AB→,AA'→=BAA'=90°

Do đó \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {C{C^\prime }} \). Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {C{C^\prime }}  = 0\).

b) \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{C^\prime }} } \right) = CA{C^\prime }\).

Ta có \(A{C^\prime }\) là đường chéo của hình lập phương cạnh bẳng 1 nên \(A{C^\prime } = \sqrt 3 \).

\({\rm{AC}}\) là đường chéo của hình vuông \({\rm{ABCD}}\) cạnh bằng 1 nên \(AC = \sqrt 2 \).

Xét \({\rm{DACC}}\) có cosCAC'=AC2+AC2−CC22⋅AC⋅AC'=2+3−12⋅2⋅3=63⇒CAC'≈35°16'

Vậy AC→,AC'→≈35°16'