Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BDA')

42/78

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\).

\(d = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

\(d = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).

\(d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\(d = \sqrt 3 \).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BDA') (ảnh 1)

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AO\,\,\\BD \bot AA'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BD \bot \left( {AA'O} \right)\)

Suy ra \(\left( {BDA'} \right) \bot \left( {AA'O} \right)\).

Kẻ \(AH \bot A'O\)\( \Rightarrow AH \bot \left( {BDA'} \right)\).

Suy ra \(AH = d\left( {A,\,\,\left( {BDA'} \right)} \right)\).

Xét tam giác \(AA'O\) vuông tại \(A\) có \(AA' = 1\), \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta A'AO\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = 1 + 2 = 3 \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {A,\,\,\left( {BDA'} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).