Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng ( A ′B ′CD ) và ( ACC ′A ′ ) bằng

Đáp án đúng là: A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ \(O \equiv A',\,Ox \equiv A'D',\,Oy \equiv A'B',\,\,Oz \equiv A'A.\)

Khi đó:\(A'(0;0;0)\), \(D'(a;0;0)\), \(B'(0;a;0)\), \(C'(a;a;0)\),

\(A(0;0;a)\), \(D(a;0;a)\), \(B(0;a;a)\), \(C(a;a;a)\).

\[ \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = (0;a;0),\,\overrightarrow {A'D} = (a;0;a),\,\overrightarrow {A'A} = (0;0;a),\,\overrightarrow {A'C'} = (a;a;0).\]

\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = ({a^2};0; - {a^2}).\)

Chọn \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;0; - 1)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0).\)

Chọn \(\overrightarrow {{n_2}} = ( - 1;1;0)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ACC'A'} \right)\].

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\)và \(\left( {ACC'A'} \right)\)là:

\[{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ .\]