Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', có cạnh a. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

16/22

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), có cạnh \(a\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

\(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = 2\overrightarrow {AC} \).

ĐúngSai

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {A'B} \) bằng \(60^\circ \).

ĐúngSai

\(\overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {CC'} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\).

ĐúngSai

\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \vec 0\).

ĐúngSai

Giải thích

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', có cạnh a. Các mệnh đề sau đúng hay sai? (ảnh 1)

a) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \).

Cộng hai vế lại: \(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} } \right) = 2\overrightarrow {AC} \).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {A'B} = \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right) = - {\overrightarrow {AB} ^2} = - {a^2}\).

\({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \frac{{ - {a^2}}}{{a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = 120^\circ \).

c) Sai. Vì \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD'} \) nên \(\overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {DD'} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {DD'} + {\overrightarrow {DD'} ^2} = 0 + {a^2} = {a^2}\).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AB} \).

\(\overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {C'D} = \left( {\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} } \right) - \left( { - \overrightarrow {C'C} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AB} \).

Tổng lại: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = 2\overrightarrow {AB} + \left( { - 2\overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0\).