Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC'= a căn 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng

 

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD và AC ⊥ BD.

Có AD // B'C' và AD = B'C' (vì cùng song song và bằng BC) nên ADC'B' là hình bình hành, suy ra AB' // DC'. Do đó AB' // (BDC').

Khi đó d(AB', BC') = d(AB', (BDC')) = d(A, (BDC')) = d(C, (BDC')) .

Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a.

Xét tam giác ABC vuông tại B có AC=AB2+BC2=a2+a2=a2 .

Vì CC' ⊥ (ABCD) nên CC' ⊥ AC hay tam giác ACC' vuông tại C.

Xét tam giác ACC' vuông tại C, có  AC'2=AC2+CC'2⇔3=2a2+a2⇒a=1.

Do đó hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là 1 nên AC = 2 .

Vì O là trung điểm của AC nên CO = 22 .

Có AC ⊥ BD, BD ⊥ AA' (do AA' ⊥ (ABCD)), suy ra BD ⊥ (ACC'A') mà BD Ì (BDC') nên (BDC') ⊥(ACC'A') .

Kẻ CE ⊥ C'O tại E.

Vì (BDC') ⊥ (ACC'A'), (BDC') ∩ (ACC'A') = C'O mà CE ⊥ C'O nên CE ⊥ (BDC').

Khi đó d(C, (BDC')) = CE.

Xét tam giác C'CO vuông tại C, CE là đường cao có:

1CE2=1CC'2+1CO2=11+1222=3⇒CE2=13⇒CE=33.

dAB',BC'=33