Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khẳng định nào sau đây sai? 

Chọn C

Ta xét các khẳng định:
A. \(|\overrightarrow {BD'} |\) là độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh \(a\). Ta có:
\(B{D'^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{C'^2} = {a^2} + {a^2} + {a^2} = 3{a^2}\)\( \Rightarrow |\overrightarrow {BD'} | = \sqrt {3{a^2}} = a\sqrt 3 \). Khẳng định A đúng.
B. Ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \) (quy tắc hình hộp). Khẳng định B đúng.
C. Vectơ \(\overrightarrow {AC} \) là đường chéo của mặt phẳng đáy \(ABCD\).
Vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) là đường chéo của mặt phẳng trên \(A'B'C'D'\).
Hai vectơ này song song và cùng hướng, nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).
Do đó, \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} \).
Vì \(a > 0\), nên \(\overrightarrow {AC} \ne \vec 0\). Vậy \(2\overrightarrow {AC} \ne \vec 0\). Khẳng định \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = \vec 0\) là sai.
D. \(|\overrightarrow {BD} |\) là độ dài đường chéo của hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\).
\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)
\(|\overrightarrow {BD} | = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \). Khẳng định D đúng.