Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Gọi α là góc giữa AC và mặt phẳng ( A ′BCD ′ ) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

34/38

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]cạnh \(a\). Gọi \[\alpha \]là góc giữa \[AC\] và mặt phẳng \[\left( {A'BCD'} \right).\] Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

\[\alpha = 30^\circ .\]

\[\alpha = 45^\circ .\]

\[\tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\]

\[\tan \alpha = \sqrt 2 .\]

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: B (ảnh 1)

Gọi \(I\) là giao điểm hai đường chéo \(AB'\) và \(A'B\) của hình vuông \(ABB'A'\).

Khi đó ta có \(AI \bot A'B\).

Lại có \(BC \bot AI\) (do \(BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\).

Do đó, \(AI \bot \left( {A'BCD'} \right)\).

Suy ra góc giữa \[AC\] và mặt phẳng \[\left( {A'BCD'} \right)\] là góc \(ACI\), tức là \(\alpha = \widehat {ACI}\).

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \), \(AI = \frac{{AB'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(AIC\) vuông tại \(I\) nên \(\sin \widehat {ACI} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(\alpha = \widehat {ACI} = 30^\circ \).