Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Vì AA' ^ AB nên \(\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\).

b) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}\).

Ta có \(AC' = a\sqrt 3 ,BC' = a\sqrt 2 \).

Xét DABC' có \(\cos \widehat {BAC'} = \frac{{A{B^2} + A{{C'}^2} - B{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC'}} = \frac{{{a^2} + 3{a^2} - 2{a^2}}}{{2\sqrt 3 {a^2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC'} = a \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = {a^2}\).

c) Đúng. Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\B'D'//BD\end{array} \right.\) nên AC ^ B'D'. Do đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'D'} = 0\).

d) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {B'AC'}\).

\(AC' = a\sqrt 3 ,AB' = a\sqrt 2 \).

Xét DAB'C' có \(\cos \widehat {B'AC'} = \frac{{A{{B'}^2} + A{{C'}^2} - B'{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB' \cdot AC'}} = \frac{{2{a^2} + 3{a^2} - {a^2}}}{{2\sqrt 6 {a^2}}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).

Khi đó \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {B'AC'} = a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{2}{{\sqrt 6 }} = 2{a^2}\).