Cho hình lập phương ABCD. EFGH cạnh 1. Điểm M được cho thỏa mãn hệ thức vecto AM + vecto AE = 3 vecto CD. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (EBD)

21/21

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ cạnh 1. Điểm $M$ được cho thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD} $. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {EBD} \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

$Cho hình lập phương \(ABCD (ảnh 1)$

Ta có $A\left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {AE} = \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 1;0} \right)$.

Đặt $M\left( {a;b;c} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {AM} = \left( {a;b;c} \right)$.

Để cho $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD} $ ta được $\left\{ \begin{array}{l}a + 0 = 0\\b + 0 = - 3\\c + 1 = 0\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 3\\c = - 1\end{array} \right.$. Suy ra $M\left( {0; - 3; - 1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {EBD} \right)$ có dạng: $x + y + z - 1 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {EBD} \right)$ bằng

$d\left( {M,\left( {EBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 3 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy khoảng cách cần tìm bằng $\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.