Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên các đoạn AB1 và BC1 sao cho luôn tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 (tham khảo hình vẽ). Giá tr

Đáp án C

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ ta có

A(0;0;0), B(0;1;0), D(1;0;0), C(1;1;0), A1(0;0;1), C1(1;1;1)

Ta có AM→=mAB1→, (0<m<1)⇒M(0;m;m) ;

BN→=nBC1→, (0<n<1)⇒N(n;1;n)

⇒MN→(n;1−m;n−m)⇒MN2=n2+(1−m)2+(n−m)2

MN tạo với mặt phẳng (ABCD)≡(Oxy) góc 60°

⇒sin60°=|MN→.k→||MN→|.|k→|⇔|n−m|n2+(1−m)2+(n−m)2=32

⇔(n−m)2=3[n2+(1−m)2]≥3.(n−m+1)22=32[(n−m)2+2(n−m)+1]

⇔(n−m)2+6(n−m)+3≤0⇔−3−6≤n−m≤−3+6⇒3−6≤|n−m|≤3+6

⇒MN=n2+(1−m)2+(n−m)2=233|n−m|≥233(3−6)=2(3−2) ⇒minMN=2(3−2)khi m=4−62, n=6−22.