Cho hình lập phương ABCD . A ′B ′C ′D ′ có cạnh bằng 6. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( A ′BD ) .

24/25

(1 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ có cạnh bằng 6. Tính khoảng cách từ điểm $A$ tới mặt phẳng $\left( {A\prime BD} \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cách 1.

$Điều kiện: $x > 0$. Ta có \(\log _2^2x - {\lo (ảnh 1)$

Thể tích khối tứ diện $A.A\prime BD$ (hoặc $A\prime .ABD$) là: $V = \frac{1}{3} \cdot {S_{\Delta A\prime BD}} \cdot d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right) = \frac{1}{3} \cdot {S_{\Delta ABD}} \cdot d\left( {A\prime ,\left( {ABD} \right)} \right)$.

Ta có $d\left( {A\prime ,\left( {ABD} \right)} \right) = AA' = 6$ và ${S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$.

Thể tích khối tứ diện $A.A\prime BD$ (hoặc $A\prime .ABD$): $V = \frac{1}{3} \cdot {S_{\Delta ABD}} \cdot AA\prime = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36$.

Tam giác $A\prime BD$ là tam giác đều cạnh $6\sqrt 2 $ nên ${S_{\Delta A\prime BD}} = \frac{{{{\left( {6\sqrt 2 } \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{36 \cdot 2 \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{72\sqrt 3 }}{4} = 18\sqrt 3 $.

Khi đó, $V = \frac{1}{3} \cdot {S_{\Delta A\prime BD}} \cdot d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right)$$ \Leftrightarrow 36 = \frac{1}{3} \cdot \left( {18\sqrt 3 } \right) \cdot d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right)$

$ \Leftrightarrow 36 = 6\sqrt 3 \cdot d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right)$$ \Leftrightarrow d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right) = \frac{{36}}{{6\sqrt 3 }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 $.

Cách 2.

$Điều kiện: $x > 0$. Ta có \(\log _2^2x - {\lo (ảnh 2)$

Gọi $O = AC \cap BD$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AA'O} \right) \Rightarrow \left( {AA'O} \right) \bot \left( {A'BD} \right)$ theo giao tuyến $A'O$.

Dựng $AH \bot A'O \Rightarrow AH \bot \left( {A'BD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = AH$.

$\Delta A'AO$ vuông tại $A$ có $A'A = 6$; $AO = \frac{{AC}}{2} = 3\sqrt 2 $.

$ \Rightarrow AH = \frac{{AA' \cdot AO}}{{A'O}} = \frac{{AA' \cdot AO}}{{\sqrt {A'{O^2} + A{O^2}} }} = \frac{{6 \cdot 3\sqrt 2 }}{{\sqrt {36 + 18} }} = 2\sqrt 3 $. Vậy $d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right) = AH = 2\sqrt 3 $.