Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB = 8, cạnh bên bằng căn bậc hai của 6
30/36
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8, cạnh bên bằng 6 (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?
Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh
dA;BB'M=dA;BB'MN=AN
Gọi N là trung điểm của AC ta có BB'M≡BB'MN nên
dA;BB'M=dA;BB'MN
Vì tam giác ABC đều nên AN⊥BN. Ta có AN⊥BNAN⊥MN⇒AN⊥(BB'MN) nên dA;BB'MN=AN=4
Bước 2: Tính VA.BB'M=13dA;BB'MN.SΔBB'M=VB'.ABM
Ta lại có BN=AB32=43, MN=AA'=6 nên SBB'MN=MN.BN=6.43=122⇒SΔBB'M=62
⇒VA.BB'M=13dA;BB'MN.SΔBB'M=13.4.122=162=VB'.ABM
Bước 3: Sử dụng dB';ABM=3VB'.ABMSΔABM
Lại có VB'.ABM=13dB';ABM.SΔABM nên dB';ABM
Ta có:
AM=A'A2+A'M2=62+42=22AB=8BM=BB'2+B'M2=62+432=36
Bước 4: Sử dụng công thức SΔABM=pp−AMp−ABp−BM với p là nửa chu vi tam giác ABM.
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có p=22+8+362
⇒SΔABM=pp−AMp−ABp−BM
Vậy dB';ABM=3VB'.ABMSΔABM=3.162122=4