Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng

43/78

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng

\(\frac{{a\sqrt {12} }}{7}\).

\(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

\(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

\(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng (ảnh 1)

Gọi \(D\) là trung điểm cạnh\(BC\), \(E\) là hình chiếu của \(A\) lên \(A'D\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AD\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADA'} \right) \Rightarrow BC \bot AE\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\AE \bot A'D\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(d\left( {A,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = AE\).

Trong tam giác \(A'AD\) có: \(AA' = a\,,\,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\),

\(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{AA{'^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).