Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng . Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB', A'C' sao cho . Tính thể tích V của khối .

Đáp án B

Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật ABB'A' và AA'C'C .

Ta có: AMAB'=13⇒AMAG=23 (do G là trung điểm AB').

Xét tam giác ABA' có AG là trung tuyến và AMAG=23.

Suy ra M là trọng tâm tam giác ABA'.

Do đó BM đi qua trung điểm I của AA' .

Ta có: A'NA'C=13⇒A'NA'K=23 (do K là trung điểm A'C).

Xét tam giác AA'C  có A'K là trung tuyến và A'NA'K=23 , suy ra N là trọng tâm của tam giác .

Do đó C'N đi qua trung điểm I của AA' .

Từ M là trọng tâm tam giác ABA' và N trọng tâm của tam giác AA'C, suy ra: IMIB=INIC'=13 .

Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; .

Ta có: V1V2=IMIB.INIC'.ICIC=19.

Mà V1+V=V2⇒V=89V2.

Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC.

Ta được AH vuông góc với mặt phẳng ,  song song với mặt phẳng  nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng  bằng khoảng cách từ A đến  và bằng AH.

Ta có: AH=a32, V2=13dI;(BB'C'C).SΔBCC'=13.a32.a222=a3612.

Suy ra:V=89V2=2a3627 .