Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 4. Khoảng cách từ điểm A’ đến mặt phẳng (AB’C’) bằng 2. Tính thể tích khối lăng trụ.

Đáp án: \[17\].    

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a = 4\), diện tích đáy là: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).

Xác định khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {AB{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right)\):

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\). Vì \(\Delta A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) đều nên \(A{\rm{'}}M \bot B{\rm{'}}C{\rm{'}}\).

Lăng trụ đều nên \(AA{\rm{'}} \bot \left( {A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right) \Rightarrow AA{\rm{'}} \bot B{\rm{'}}C{\rm{'}}\). Suy ra \(B{\rm{'}}C{\rm{'}} \bot \left( {AA{\rm{'}}M} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {AA{\rm{'}}M} \right)\), kẻ \(A{\rm{'}}H \bot AM\) tại \(H\).

Vì \(B{\rm{'}}C{\rm{'}} \bot \left( {AA{\rm{'}}M} \right)\) nên \(B{\rm{'}}C{\rm{'}} \bot A{\rm{'}}H\).

Do \(A{\rm{'}}H \bot AM\) và \(AH \bot B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) nên \(AH \bot \left( {AB{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right)\).

Vậy \[d\left( {A{\rm{'}},\left( {AB{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right)} \right) = AH = 2\].

Tính chiều cao lăng trụ \(\left( {h = AA{\rm{'}}} \right)\):

Xét tam giác \(A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) đều cạnh \(6\), trung tuyến \(A{\rm{'}}M = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \).

Xét tam giác \(AA{\rm{'}}M\) vuông tại \(A{\rm{'}}\), có đường cao \(AH = 2\).

Áp dụng hệ thức lượng: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{AA{{\rm{'}}^2}}} + \frac{1}{{A{\rm{'}}{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow {h^2} = 6 \Rightarrow h = \sqrt 6 \).

Tính thể tích: \(V = {S_{ABC}} \cdot h = 4\sqrt 3  \cdot \sqrt 6  = 12\sqrt 2 \).   Giá trị xấp xỉ: \(V \approx 17.\)