Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\), khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt

Trong mặt phẳng \(\left( {AA'H} \right)\) , kẻ \(A'K \bot AH\) tại \(K\). (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot A'H\\B'C' \bot AA'\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\end{array} \right.\).

\[ \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow A'K \bot B'C'\,\,\,(2)\].

Từ (1) và (2) suy ra \(A'K \bot \left( {AB'C'} \right)\) hay

\(d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'K = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(A'B'C'\) đều có đường cao \(A'H = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(AA'H\) vuông tại \(A'\) có đường cao \(A'K\) nên

\(\frac{1}{{A'{K^2}}} = \frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} \Rightarrow A'A = a{\rm{. }}\)

Hai mặt đáy lăng trụ song song với nhau và có khoảng cách là: \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = a{\rm{. }}\)

Diện tích đáy của lăng trụ (đáy là tam giác đều) là: \({S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = AA' \cdot {S_{\Delta A'B'C'}} = a \cdot {a^2}\sqrt 3  = {a^3}\sqrt 3 \).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.