Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = a căn bậc hai của 2. Khi đó:

Ý a) SAI. Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên cạnh bên \(CC'\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\).

Suy ra \(CC' \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CC'} = 0\).

Ý b) ĐÚNG. Xét tam giác vuông \(ABB'\) vuông tại \(B\), ta có:

\(AB' = \sqrt {A{B^2} + B{{B'}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).

Tương tự, xét tam giác vuông \(BCC'\) vuông tại \(C\), ta có \(BC' = \sqrt {B{C^2} + C{{C'}^2}} = a\sqrt 3 \).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC'} } \right| = a\sqrt 3 \).

Ý c) SAI. Do \(B'C'{\rm{//}}BC\) nên góc giữa hai vectơ \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\). Tam giác \(ABC\) là tam giác đều (do lăng trụ tam giác đều) nên \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Góc giữa hai vectơ chung gốc \(B\) là \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(60^\circ \), suy ra góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Ý d) ĐÚNG. Theo quy tắc hình bình hành áp dụng cho mặt bên \(ABB'A'\), ta có \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \). Vì các cạnh bên song song và bằng nhau nên \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \). Thay vào ta được \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} \).