Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có cạnh đáy bằng a, thể tích khối lăng trụ ABC. A'B'C'

Đáp án đúng là "60"

Phương pháp giải

Để xác định góc nhị diện, ta xác định góc giữa hai tia chứa trong mỗi nửa mặt phẳng, có gốc cùng thuộc giao tuyến và vuông góc với giao tuyến của hai nửa mặt phẳng đó.

Lời giải

​

Chiều cao khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(CC' = \frac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{3a}}{2}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(AB\). Suy ra \(C'H \bot AB\). Khi đó góc nhị diện \(\left[ {C',AB,C} \right]\) là \(\widehat {CHC'}\).

Ta có \(CH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\({\rm{tan}}\widehat {CHC'} = \frac{{CC'}}{{CH}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {CHC'} = {60^ \circ }\)