Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A'B'. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) ĐÚNG: Gọi \(H\) là trung điểm \(B'C'\), ta có \(FH\) là đường trung bình của \({\rm{\Delta }}A'B'C'\) nên \(FH\) song song và bằng nửa độ dài đoạn \(A'C'\).

b) ĐÚNG: Lại có \(E\) là trung điểm \(AC\), \(AC\) song song và bằng \(A'C'\) nên \(EC\) song song và bằng nửa \(A'C'\). Suy ra \(FH\) song song và bằng \(EC\), do đó \(CEFH\) là hình bình hành. Do đó \(EF{\rm{//}}HC\), mà \(HC \subset \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(EF{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\).

c) SAI: Gọi \(K\) là trung điểm \(AB\). Vì \(F\) là trung điểm \(A'B'\) và \(ABB'A'\) là hình bình hành nên \(FK\) song song và bằng \(AA'\). Do đó \(FK\) song song và bằng \(CC'\), suy ra \(CC'FK\) là hình bình hành.

d) SAI:

Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AC,AB\) tại \(G,L\). Ta có \(GL{\rm{//}}BC\).

Mà \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BB',CC'\) nên \(MN{\rm{//}}BC\).

Suy ra \[GL{\rm{//}}MN\], do đó 5 điểm \(M,N,G,L,I\) đồng phẳng.

Lại có \(M \in BB' \subset \left( {ABB'A'} \right)\) và \(L \in AB \subset \left( {ABB'A'} \right)\) nên trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\), đường thẳng \(ML\) cắt \(A'B\) tại \(P\), khi đó \(M,N,G,L,I,P\) đồng phẳng và \(Q = IP \cap MN\).

Gọi \(D\) là trung điểm của \(A'B\), khi đó \(DM{\rm{//}}A'B'\), suy ra \(DM{\rm{//}}LB\).

Từ đó suy ra \(\frac{{LP}}{{PM}} = \frac{{LB}}{{DM}} = \frac{{\frac{1}{3}AB}}{{\frac{1}{2}A'B'}} = \frac{2}{3}\).

Lại có \(QM{\rm{//}}LI\,\,\left( {{\rm{do}}\,MN{\rm{//}}LG} \right)\), suy ra \(\frac{{IP}}{{PQ}} = \frac{{LP}}{{PM}} = \frac{2}{3}\). Vậy \(\frac{{IP}}{{PQ}} = \frac{2}{3}\).