Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đáy ( A'B'C' ) trùng với trung điểm M của cạnh B ′C ′ .

84/99

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC$. $A'B'C'$có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên đáy $(A'B'C'$) trùng với trung điểm $M$ của cạnh $B'C'$. Góc nhị diện $A, A^{'}, B^{'}, C^{'}]$ có số đo bằng 60^o. Thể tích khối lăng trụ $ABC$. $A'B'C'\;$bằng

$\frac{{{a^3}}}{{16}}$.

$\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}$.

$\frac{{3{a^3}}}{{16}}$.

$\frac{{{a^3}}}{4}$.

Giải thích

$Giải chi tiết Khoảng cách từ điểm $I$ (ảnh 1)$

$Giải chi tiết Khoảng cách từ điểm $I$ (ảnh 2)$

Hạ $HM$ vuông góc với $A'B'$ tại điểm $H$.
Khi đó góc nhị diện giữa hai mặt phẳng ( $AA'B'$ ) và ( $ABC$ ) cũng chính là góc giữa hai mặt phẳng ( $AA'B'$ ) và ( $A'B'C'$ ) và bằng $\angle AHM = {60^ \circ }$.
Dễ dàng tính được $HM = \frac{a}{2}{\rm{sin}}{60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$
$ \Rightarrow AM = HM \cdot {\rm{tan}}{60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt 3 = \frac{{3a}}{4}$.
Suy ra thể tích khối lăng trụ $V_{A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{△ A B C} \cdot A M = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3 a}{4} = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{16}$ .